Linee o curve di livello

Le linee di livello sono un oggetto matematico ben definito.

Una linea di livello infatti è costituita dalle proiezioni sul piano cartesiano di tutti i punti di una funzione in due variabili che hanno la stessa quota. Ad esempio, è una curva di livello la linea nera che riporta sul piano cartesiano le coordinate dei punti del paraboloide bordeaux intersecato dal piano azzurro di quota nota:

Attenzione però: la rappresentazione ordinaria delle curve di livello non è prospettica, come in questo caso, bensì in pianta (come direbbero gli architetti). Cioè, ad esempio, come nella terza delle immagini seguenti che rappresenta lo stadio finale nella produzione di curve di livello che rappresentino la superficie rappresentata nella prima immagine (la seconda è un immagine di lavoro):

Come si vede, l’asse z è del tutto invisibile e alla sua mancanza si sopperisce indicando la quota di ciascuna linea.

Risulta inoltre evidente che una interpretazione efficace della funzione in due variabili necessita di una pluralità di curve: sarebbe del tutto impossibile riuscire a visualizzare la forma di una funzione (anche più semplice di questa) sulla sola scorta di un’unica linea di livello.

Tempo fa, alla domanda:

Le funzioni in due variabili sono oggetti che abitano lo spazio (da cosa lo deduciamo?) e sono quindi difficili da rappresentare su un foglio di carta. Come si può superare questa difficoltà?

un mio allievo, Alessio Masuello, aveva risposto molto efficacemente come segue:

Capiamo che le funzioni in due variabili sono oggetti che abitano lo spazio in quanto, essendo composte da 3 incognite, occupano uno spazio tridimensionale, come quello in cui viviamo.

Sono quindi difficili da rappresentare su un foglio che ha solo due dimensioni.

Il modo più immediato per rappresentarle sembrerebbe quello di creare un grafico cartesiano a 3 assi (figura 1) ma in realtà quello sarebbe un lavoro lunghissimo per rappresentare bene la funzione.

Un trucco che possiamo usare è quello delle curve di livello in cui, avendo un grafico cartesiano con solamente gli assi x ed y, tracciamo una linea che unisce tutti i punti in cui z ha un valore da noi prefissato.

Ad esempio se fissiamo z = 1, la linea che vedremo nel grafico sarà l’insieme di tutti i punti della funzione aventi quota 1 (parabola blu nel grafico). Tracciando varie linee e fissando diversi valori per z possiamo capire la forma della nostra funzione.

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